Question

1．觀察下列等式：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$將以上三個等式兩邊分別相加得：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
（1）直接寫出下式：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$的計算結果為$\frac{2015}{2016}$．
（2）探究并計算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+…+$\frac{1}{2n×2（n+1）}$（其中n為正整數）

Answer 1

分析 （1）根據題意裂項求和即可得；
（2）根據$\frac{1}{2n×2（n+1）}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{2（n+1）}$]裂項求解可得．

解答 解：（1）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$
=1-$\frac{1}{2016}$
=$\frac{2015}{2016}$，
故答案為：$\frac{2015}{2016}$；

（2）原式=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{2（n+1）}$]
=$\frac{1}{2}$×[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2（n+1）}$]
=$\frac{n}{4（n+1）}$
=$\frac{n}{4n+4}$．

點評 本題主要考查數字的變化規律，根據題意得出$\frac{1}{2n×2（n+1）}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{2（n+1）}$]及裂項求和的方法是解題的關鍵．