Question

16．如圖．AB是⊙O的直徑，∠BAC=60°，D為半圓的中點，若⊙O的半徑為4，求CD的長．

Answer 1

分析 作輔助線，構建直角三角形，利用D為半圓的中點得等腰直角三角形AOD，求出AD的長，根據等腰三角形的性質得：∠ADE=30°，所以利用30°角所對的直角邊是斜邊的一半求AE的長，利用勾股定理求出DE的長，證明△ACE是等腰直角三角形，求出CE的長，相加即可得CD的長．

解答 解：連接AD、OD、OC，過A作AE⊥CD于E，
∵D為半圓的中點，AB為⊙O的直徑，
∴∠AOD=90°，
∵AO=OD=4，
∴AD=4$\sqrt{2}$，∠ADO=45°，
∵OC=OA，∠BAC=60°，
∴△ACO是等邊三角形，
∴AC=AO=4，∠AOC=60°，
∴∠COD=60°+90°=150°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=15°，
∴∠ADC=∠ADO-∠ODC=45°-15°=30°，
在Rt△AED中，AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×$4\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∵∠ACO=60°，∠OCD=15°，
∴∠ACE=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE=$\frac{AC}{\sqrt{2}}$=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴CD=CE+ED=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了圓周角定理、等腰三角形、等邊三角形的性質和判定，根據等腰三角形中等邊對等角和等邊三角形的性質求出特殊角的度數，利用勾股定理求邊的長度．