Question

1．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c過點D（-2，5），與x軸交于點A（-1，0）和點B，與y軸交于點C（0，-3）．
（1）求此函數的解析式；
（2）若點M在拋物線的對稱軸上，點N在拋物線上，是否存在以點M、N、O、B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，說明理由；
（3）點P是第一象限拋物線上的點，連接OP、BP、OP與BD交于點Q，若△OBP的面積是△OBQ面積的2倍，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）用待定系數法直接求出拋物線解析式；
（2）先確定出OB=3，分AB為邊和為對角線兩種情況討論計算，當AB為邊時，有MN∥OB，MN=OB=3建立方程求解即可，當AB為對角線時，MN必過AB的中點建立方程求解即可；
（3）利用三角形的面積關系得出點Q是OP的中點，建立方程組求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點D（-2，5），與x軸交于點A（-1，0）和點B，與y軸交于點C（0，-3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=5}\\{a-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴此函數的解析式為y=x²-2x-3，
（2）由（1）知，函數的解析式為y=x²-2x-3，
∴B（3，0），
∴OB=3，拋物線的對稱軸為x=1，
∵以點M、N、O、B為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴①當AB為平行四邊形的邊時，
∴MN∥OB，MN=OB=3，
設點N（m，m²-2m-3），
∴M（1，m²-2m-3），
∴MN=|m-1|=3，
∴m=-2或m=4，
∴N（-2，5）或（4，5），
②當AB為對角線時，MN必過OB的中點G（$\frac{3}{2}$，0），
設點N（m，m²-2m-3），M（1，n），
∴$\frac{m+1}{2}=\frac{3}{2}$，$\frac{{m}^{2}-2m-3+n}{2}=0$，
∴m=2，n=3，
∴N（2，-3），
即：滿足條件的點N的坐標為（-2，5）或（4，5）或（2，-3）．
（3）∵D（-2，5），b（3，0），
∴直線BD解析式為y=-x+3，
∵△OBP的面積是△OBQ面積的2倍，
∴S_△OBQ=S_△PBQ，
∴BQ是△OBP的邊OP的中線，
∴OQ=PQ，
設P（p，p²-2p-3）（p＞0），
∵O（0，0），
∴Q（$\frac{p}{2}$，$\frac{{p}^{2}-2p-3}{2}$），
∵Q點直線BD上，
∴-$\frac{p}{2}$+3=$\frac{{p}^{2}-2p-3}{2}$，
∴p=$\frac{1-\sqrt{37}}{2}$（舍）或p=$\frac{1+\sqrt{37}}{2}$，
∴P（$\frac{1+\sqrt{37}}{2}$，$\frac{11-\sqrt{37}}{2}$）．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，平行四邊形的性質，三角形的中線，用分類討論的思想是解本題的關鍵，用中點坐標公式是解本題的難點，是一道中等難度的中考常考題．