Question

4．在平面直角坐標系中，已知點A（8，0），B（0，-8），連接AB．
（1）如圖①，動點C在x軸負半軸上，且AH⊥BC交BC于點H、交OB于點P，求證：△AOP≌△BOC；
（2）如圖②，在（1）的條件下，連接OH，求證：2∠OHP=∠AHB；
（3）如圖③，E為AB的中點，動點G在y軸上，連接GE，作EF⊥GE交x軸于F，猜想GB，OB、AF三條線段之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）欲證明△AOP≌△BOC已經有一邊，一角相等，只要證明∠HAC=∠OBC即可．
（2）如圖②中，過O分別作OM⊥CB于M點，作ON⊥HA于N點，由△COM≌△PON（AAS），推出OM=ON．因為OM⊥CB，ON⊥HA，推出HO平分∠CHA，由此即可證明．
（3）結論：BG-BO=AF．只要證明△GOE≌△FAE，推出OG=AF，推出BG-BO=GO=AF即可證明．

解答 （1）證明：如圖①中，

∵AH⊥BC即∠AHC=90°，∠COB=90°
∴∠HAC+∠ACH=∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠HAC=∠OBC．
在△OAP與△OBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COB=∠POA=90°}\\{OA=OB}\\{∠OAP=∠OBC}\end{array}\right.$，
∴△OAP≌△OBC（ASA），

（2）過O分別作OM⊥CB于M點，作ON⊥HA于N點，如圖②．

在四邊形OMHN中，∠MON=360°-3×90°=90°，
∴∠COM=∠PON=90°-∠MOP．
在△COM與△PON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COM=∠PON}\\{∠OMC=∠ONP=90°}\\{OC=OP}\end{array}\right.$，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM=ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP=$\frac{1}{2}$∠CHA=45°，
∵∠AHB=90°，
∴2∠OHP=∠AHB．

（3）結論：BG-BO=AF．
理由如下：連接OE，如圖3．

∵∠AOB=90°，OA=OB，E為AB的中點，
∴OE⊥AB，∠BOE=∠AOE=45°，OE=EA=BE，
∴∠OAD=45°，∠GOE=90°+45°=135°，
∴∠EAF=135°=∠GOE．
∵GE⊥EF即∠GEF=90°，
∴∠OEG=∠AEF，
在△GOE與△FAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEG=∠AEF}\\{OE=AE}\\{∠GOE=∠EAF}\end{array}\right.$，
∴△GOE≌△FAE，
∴OG=AF，
∴BG-BO=GO=AF，
∴BG-BO=AF．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、角平分線的判定定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．