Question

19．在平面直角坐標系中，已知點A（0，2），點B是x軸上一動點，以線段AB為一邊，在其一邊做等邊三角形ABC，且點C在第一象限，當B運動到原點O處時，記此時的C點位置為點D．
（1）求點D坐標；
（2）求證：當點B在x軸上運動（B不與O重合），∠ADC為定值；
（3）當C點關于AB的對稱點E在坐標軸上時，請求出點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據題意，過點C作CE⊥y軸于點E，根據等邊三角形的性質，即可求出OE和CE的長，進而得到點D坐標；
（2）根據△ABC和△AOD都是等邊三角形，得出△ABO≌△ACD（SAS），進而得出∠ADC=∠AOB=90°即可；
（3）分兩種情況討論：點E在y軸上，點E在x軸上，分別根據等邊三角形的性質進行計算，即可求得OE的長，進而得出點E的坐標．

解答 （1）解：如圖所示，過點C作CE⊥y軸于點E，

∵A（0，2），△ABC為等邊三角形，
∴當B運動到原點O處時，AB=OA=2=BC，∠CBA=60°，
∴∠OCE=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$BC=1，CE=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴C（$\sqrt{3}$，1），
即點D坐標為（$\sqrt{3}$，1）；

（2）證明：如圖所示，當點B在x軸上運動（B不與O重合）時，

∵△ABC和△AOD都是等邊三角形，
∴∠BAC=∠OAD=60°，BA=CA，OA=DA，
∴∠BAO=∠CAD，
在△ABO和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA}\\{∠BAO=∠CAD}\\{OA=DA}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ACD（SAS），
∴∠ADC=∠AOB=90°，
∴當點B在x軸上運動（B不與O重合），∠ADC為定值；

（3）分兩種情況進行討論：
①如圖所示，當C點關于AB的對稱點E在y軸上時，連接BE，則△ABE≌△ABC，

∴△ABE是等邊三角形，
∵BO⊥AE，A（0，2），
∴AO=EO=2，
∴E（0，-2）；
②如圖所示，當C點關于AB的對稱點E在x軸上時，連接AE，則△ABE≌△ABC，

∴△ABE是等邊三角形，
∵BO⊥AO，A（0，2），
∴AO=2，∠EAO=30°，
∴OE=$\frac{AO}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∴E（-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，0）．

點評 本題屬于幾何變換綜合題，主要主要考查了等邊三角形的性質以及全等三角形的判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是畫出符合題意的圖形進行判斷分析，解題時注意分類思想的運用．注意等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．