Question

16．如圖，在直角坐標系xOy中，點A（2，0）和點B（-2，0），直線BC與y軸正半軸交于點C（0，b），過點A作AD⊥BC，垂足為D，聯結OD．
（1）求OD的長；
（2）當∠ODA=30°時，求點C的坐標；
（3）在（2）的條件下，已知點E在直角坐標平面內，如果以A、C、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，即可解決問題．
（2）首先證明∠CBO=60°，在Rt△OBC中，根據OC=OB•tan60°計算即可．
（3）點E有三種可能，利用平行四邊形的性質，以及中點坐標公式即可解決問題．

解答 解：（1）如圖，∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵A（2，0），B（-2，0），
∴OA=OB=2，
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=2．

（2）∵∠ODA=30°，OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD=30°，
∴∠OBD=60°，
在Rt△OBC中，OC=OB•tan60°=2$\sqrt{3}$，
∴C（0，2$\sqrt{3}$）．

（3）∵四邊形ADCE₁是平行四邊形，∴CM=AM，DM=ME₁，
∵C（0，2$\sqrt{3}$），A（2，0），
∴M（1，$\sqrt{3}$），
∴E₁（3，$\sqrt{3}$），同法可得E₂（-3，3$\sqrt{3}$），E₃（1，-$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查平行四邊形的判定、坐標與圖形的性質、銳角三角函數、直角三角形斜邊中線定理、中點坐標公式等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，考慮問題要全面，不能漏解，屬于中考常考題型．