Question

17．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．
（1）若CD=5，求AC的長．
（2）求證：AB=AC+CD．

Answer 1

分析 （1）依據角平分線的性質可證明DC=DE，接下來證明△BDE為等腰直角三角形，從而得到DE=EB=5，然后依據勾股定理可求得BD的長，然后由AC=BC=CD+DB求解即可；
（2）先證明AC=AE，然后由EB=DC=DC求解即可．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，
∴CD=DE=5．
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠B=45°．
∴△△DEB為等腰直角三角形，
∴DC=EB=5．
在Rt△BDE中，依據勾股定理可知BD=5$\sqrt{2}$．
∴AC=BC=DC+DB=5+5$\sqrt{2}$．
（2）在Rt△ACD和Rt△AED中$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
∴AC=AE．
又∵CD=DE=EB，
∴AC+CD=AE+EB=AB．

點評 本題主要考查的是角平分線的性質、全等三角形的性質和判定、勾股定理的應用，找出圖中全等三角形是解題的關鍵．