Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點，連結AP，BP，AP+$\frac{1}{2}$BP的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{37}$
• B． 6
• C． 2$\sqrt{17}$
• D． 4

Answer 1

分析 首先連接CP，在CB上取點D，使CD=1，連結AD，則有$\frac{CD}{CP}$=$\frac{CP}{PB}$=$\frac{1}{2}$；然后根據相似三角形判定的方法，判斷出△PCD∽△BCP，即可推得$\frac{PD}{BP}$=$\frac{1}{2}$，AP+$\frac{1}{2}$BP=AP+PD，再應用勾股定理，求出AP+$\frac{1}{2}$BP的最小值為多少即可．

解答 解：如圖1，連接CP，在CB上取點D，使CD=1，連結AD，
，
∴$\frac{CD}{CP}$=$\frac{CP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，
又∵∠PCD=∠BCP，
∴△PCD∽△BCP．
∴$\frac{PD}{BP}$=$\frac{1}{2}$，
∴PD=$\frac{1}{2}$BP，
∴AP+$\frac{1}{2}$BP=AP+PD，
當點A，P，D在同一條直線時，AP+$\frac{1}{2}$BP的值最小，
在Rt△ACD中，
∵CD=1，CA=6，
∴AD=$\sqrt{{1}^{2}{+6}^{2}}$=$\sqrt{37}$，
∴AP+$\frac{1}{2}$BP的最小值為$\sqrt{37}$．
故選：A．

點評 此題主要考查了最短路線問題，圓周角定理的應用，以及勾股定理的應用，要熟練掌握．