Question

20．閱讀、理解并應用探究．
[理解性質]：如圖，矩形（長方形）ABCD中，AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC，對角線AC，BD相交于點O，且OA=OB=OC=OD．
[應用]探究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞著矩形ABCD（AB＜BC）的對角線交點O旋轉（如圖①→②→③），圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．

（1）該學習小組中一名成員意外地發現：在圖①（三角板的一直角邊與OD重合）中，BN²=CD²+CN²；在圖③（三角板的一直角邊與OC重合）中，CN²=BN²+CD²．
請你對這名成員在圖①和圖③中發現的結論選擇其一說明理由．
（2）[探究]試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）若選圖①，連接DN，根據線段垂直平分線的性質，得出BN=DN，再根據勾股定理，列出DN²=CD²+CN²，即可得到BN²=CD²+CN²；若選圖③，連接AN，根據線段垂直平分線的性質，得出AN=CN，再根據勾股定理，列出AN²=AB²+BN²，即可得到CN²=CD²+BN²；
（2）延長NO交AD于點P，連接PM，MN，先判定△BON≌△DOP（AAS），得出ON=OP，BN=PD，根據線段垂直平分線的性質，得出PM=MN，再根據勾股定理得到PM²=PD²+DM²，MN²=CM²+CN²，進而得出PD²+DM²=CM²+CN²，即可得到BN²+DM²=CM²+CN²．

解答 解：（1）若選圖①，
證明：如圖①，連接DN，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD，
∵∠DON=90°，
∴BN=DN，
∵∠NCD=90°，
∴Rt△CDN中，DN²=CD²+CN²，
∴BN²=CD²+CN²；

若選圖③，
證明：如圖③，連接AN，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AB=CD，
∵∠AON=90°，
∴AN=CN，
∵∠NBA=90°，
∴Rt△ABN中，AN²=AB²+BN²，
又∵AB=CD，AN=CN，
∴CN²=CD²+BN²；

（2）BN²+DM²=CM²+CN²．
理由：如圖②，延長NO交AD于點P，連接PM，MN，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OD=OB，AD∥BC，
∴∠DPO=∠BNO，∠PDO=∠NBO，
在△BON和△DOP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NBO=∠PDO}\\{∠BNO=∠DPO}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△BON≌△DOP（AAS），
∴ON=OP，BN=PD，
∵∠MON=90°，
∴PM=MN，
∵∠PDM=∠NCM=90°，
∴Rt△PDM中，PM²=PD²+DM²，
Rt△NCM中，MN²=CM²+CN²，
∴PD²+DM²=CM²+CN²，
∴BN²+DM²=CM²+CN²．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的性質和判定以及勾股定理等知識點的綜合運用，解決問題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形和全等三角形，運用勾股定理列出表達式．