Question

6．在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC和∠BCA的平分線，AD，CE相交于點F．
（1）求∠EFD的度數；
（2）判斷FE與FD之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據三角形內角和定理和角平分線的定義計算求解；
（2）在AC上截取AG=AE，則EF=FG；根據ASA證明△FCD≌△FCG，得DF=FG，故判斷EF=FD．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°
∴∠BAC=30°，
∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線
∴∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°，∠FCA=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°
∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°，
∴∠EFD=∠AFC=120°；
（2）FE與FD之間的數量關系為FE=FD；
證明：在AC上截取AG=AE，連接FG，

∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1=∠2
又∵AF為公共邊
在△EAF和△GAF中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠FAG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF
∴FE=FG，∠AFE=∠AFG=60°，
∴∠CFG=60°，
又∵FC為公共邊，∠DCF=∠FCG=45°
在△FDC和△FGC中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DFC=∠GFC}\\{FC=FC}\\{∠FCG=∠FCD}\end{array}\right.$，
∴△CFG≌△CFD，
∴FG=FD
∴FE=FD．

點評 此題考查三角形內角和、全等三角形的判定和性質，角平分線問題，關鍵是根據全等三角形的判定與性質解答．