Question

11．已知如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c的圖象經過點A（4，0），C（0，2）
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖1，點E是拋物線上的第一象限的點，求S_△ACE的最大值，并求S_△ACE取得最大值時x的值；
（3）如圖2，在拋物線上是否存在一點P，使△ACP是以AC為斜邊的等腰直角三角形？若存在，求點P的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）待定系數法求解可得；
（2）作ED⊥y軸，設點E（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），表示出DE、DO、DC的長，根據S_△ACE=S_梯形AODE-S_△AOC-S_△DCE列出函數解析式并配方成頂點式，從而得出最值情況；
（3）若要使△ACP是以AC為斜邊的等腰直角三角形，則點P在線段AC的中垂線上，據此可先求出線段AC中垂線的解析式，結合二次函數解析式從而求得中垂線與拋物線的交點坐標，再根據勾股定理逆定理判斷此時的交點能否使△ACP是以AC為斜邊的直角三角形，從而得出答案．

解答 解：（1）將點A（4，0），C（0，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-8+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）如圖1，過點E作ED⊥y軸于點D，

設點E（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），
則DE=x，DO=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，DC=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2-2=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
∴S_△ACE=S_梯形AODE-S_△AOC-S_△DCE
=$\frac{1}{2}$（x+4）（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2）-$\frac{1}{2}$x（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x）-$\frac{1}{2}$×4×2
=-x²+4x
=-（x-2）²+4，
則當x=2時，S_△ACE取得最大值4；

（3）不存在，
如圖2，

∵點A（4，0）、C（0，2），
∴AC的中點F的坐標為（2，1），
設BC所在直線解析式為y=kx+b，
將點A（4，0）、C（0，2）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴AC的中垂線的解析式為y-1=2（x-2），即y=2x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{41}}{2}}\\{y=\sqrt{41}-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{41}}{2}}\\{y=-\sqrt{41}-4}\end{array}\right.$，
若點P坐標為（$\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$，$\sqrt{41}$-4），
∵PA²+PC²=（4-$\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$）²+（4-$\sqrt{41}$）²+（0-$\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$）²+（2-$\sqrt{41}$+4）²=175-25$\sqrt{41}$，AC²=20，
∴PA²+PC²≠AC²，即△ABP不是等腰直角三角形，舍去；
若點P坐標為（$\frac{-1-\sqrt{41}}{2}$，-$\sqrt{41}$-4），
∵PA²+PC²=（4-$\frac{-1-\sqrt{41}}{2}$）²+（4+$\sqrt{41}$）²+（0-$\frac{-1-\sqrt{41}}{2}$）²+（2+$\sqrt{41}$+4）²=175+25$\sqrt{41}$，AC²=20，
∴PA²+PC²≠AC²，即△ABP不是等腰直角三角形，舍去；
綜上，這樣的點P不存在．

點評 本題主要考查二次函數的綜合運用，熟練掌握待定系數法求函數解析式、二次函數的性質及線段中點公式、勾股定理逆定理是解題的關鍵．