Question

13．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF，在此運動變化的過程中，△CEF周長的最小值是5+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 連接CD，由SAS定理可證△CDF和△ADE全等，從而可證∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；當E、F分別為AC、BC中點時，EF取最小值，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到EF，于是得到結(jié)論．

解答 解：連接CD；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
在△ADE與△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形，
∵∠C=90°，AC=BC=5，
∴AB=5$\sqrt{2}$，
∴當，△CEF周長的最小時，EF取最小值，
∴E、F分別為AC、BC中點時，EF的值最小，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴△CEF周長的最小值=CE+CF+EF=AE+CE+EF=AC+EF=5+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
故答案為：5+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形、直角三角形性質(zhì)等知識，找到EF∥BC時取最小值是解題關(guān)鍵．