Question

5．如圖，動點P在函數y=$\frac{16}{x}$（x＞0）的圖象上移動，⊙P半徑為2，A（3，0），B（6，0），點Q是⊙P上的動點，點C是QB的中點，則AC的最小值是2$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 取點P（4，4），連接OP交⊙P于點Q′，連接BQ′，取BQ′的中點C′，連接AC′．因為OA=AB、CB=CQ，所以AC=$\frac{1}{2}$OQ，所以當OP最小時，OQ、AC最小，Q運動到Q′時，OQ最小，由此即可解決問題．

解答 解：取點P（4，4），連接OP交⊙P于點Q′，連接BQ′，取BQ′的中點C′，連接AC′，此時AC′最小．
設點P的坐標為（x，$\frac{16}{x}$），則OP=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{16}{x}）^{2}}$≥$\sqrt{2x•\frac{16}{x}}$=4$\sqrt{2}$，當x=$\frac{16}{x}$=4時，取等號．
∵A（3，0），B（6，0），點C是QB的中點，
∴OA=AB，CB=CQ，
∴AC=$\frac{1}{2}$OQ．
當Q運動到Q′時，OQ最小，
此時AC的最小值AC′=$\frac{1}{2}$OQ′=$\frac{1}{2}$（OP-PQ′）=2$\sqrt{2}$-1．
故答案為：2$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、兩點間的距離公式、完全平方公式、三角形中位線定理、最小值問題等知識，解題的關鍵是根據完全平方公式找出OP最小時點P的坐標并確定當AC最小時點Q的位置．