Question

16．（1）如圖l，Rt△ABD和Rt△ABC的斜邊為AB，直角頂點D、C在AB的同側(cè)，求證：A、B、C、D四個點在同一個圓上．
（2）如圖2，△ABC為銳角三角形，AD⊥BC于點D，CF⊥AB于點F，AD與CF交于點G，連結(jié)BG并延長交AC于點E，作點D關(guān)于AB的對稱點P，連結(jié)PF．求證：點P、F、E三點在一條直線上．
（3）如圖3，△ABC中，∠A=30°，AB=AC=2，點D、E、F分別為BC、CA、AB邊上任意一點，△DEF的周長有最小值，請你直接寫出這個最小值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點O，連結(jié)OD，OC，根據(jù)OA=OB=OC=OD，可得A、B、C、D四個點在同一個圓上；
（2）連結(jié)DF，根據(jù)∠1=∠2，且AD⊥BC于點D，CF⊥AB于點F，得出點B、F、E、C四點共圓，∠3=∠4，再根據(jù)∠2+∠BFE=180°，得出∠1+∠BFE=180°，即可得到點P、F、E三點在一條直線上；
（3）作點D關(guān)于AB的對稱點G，作點D關(guān)于AC的對稱點H，連接GF，HE，則DF=GF，DE=HE，當點G，F(xiàn)，E，H在同一直線上時，GF+FE+EH=GH（最短），此時，DF+FE+DE最短，即△DEF的周長有最小值，連接BE，先求得BE=$\frac{1}{2}$AB=1，再根據(jù)勾股定理在Rt△BCE中，求得BC的長，最后根據(jù)面積法得出$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}$×AC×BE，即可得到AD 的長．

解答 解：（1）如圖1，取AB的中點O，連結(jié)OD，OC，
∵Rt△ABD和Rt△ABC的斜邊為AB，
∴OD=$\frac{1}{2}AB$，OC=$\frac{1}{2}AB$，
∴OA=OB=OC=OD，
∴A、B、C、D四個點在同一個圓上．

（2）如圖2，連結(jié)DF，
∵點D、P關(guān)于AB對稱，
∴∠1=∠2，
∵AD⊥BC于點D，CF⊥AB于點F，
∴∠2+∠3=90°，∠4+∠BCE=90°，BE⊥AC，點A、C、D、F四點共圓，
∴點B、F、E、C四點共圓，∠3=∠4，
∴∠2=∠BCE，∠BFE+∠BCE=180°，
∴∠2+∠BFE=180°，
∴∠1+∠BFE=180°，
∴點P、F、E三點在一條直線上．

（3）如圖3，作點D關(guān)于AB的對稱點G，作點D關(guān)于AC的對稱點H，連接GF，HE，則DF=GF，DE=HE，
∴當點G，F(xiàn)，E，H在同一直線上時，GF+FE+EH=GH（最短），
此時，DF+FE+DE最短，即△DEF的周長有最小值，
由軸對稱的性質(zhì)，可得∠GAH=2∠BAC=60°，AG=AD=AH，
∴△AGH是等邊三角形，
∴△DEF的周長最小值=GH=AD，
∵當AD⊥BC時，AD有最小值，
∴當AD⊥BC時，△DEF的周長有最小值，
連接BE，
由∠CEH=∠ECH=75°可得，EH=CH，
又∵DE=EH，BD=DC=CH，
∴DE=DC=DB，
∴∠BEC=90°，
∴Rt△ABE中，BE=$\frac{1}{2}$AB=1，AE=$\sqrt{3}$，
∴EC=2-$\sqrt{3}$，
∴Rt△BCE中，BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{2-\sqrt{3}}$=2×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∵$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}$×AC×BE，
∴$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）×AD=$\frac{1}{2}$×2×1，
∴AD=$\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$，
即△DEF的周長有最小值$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了四點共圓，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，根據(jù)兩點之間線段最短進行計算求解．解題時注意：面積法的運用可以容易求得等腰三角形底邊上的高．如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．