Question

6．在△ABC中，AB=AC．
（1）如圖①，若P是BC上的任意一點，連接AP，求證：AB²-AP²=BP•CP；
（2）如圖②，若P是BC延長線上的一點，連接AP，則還能得到（1）中的結論嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過A作AM⊥BC于M，AB²=AM²+BM²，AP²=AM²+MP²，利用平方差公式，結合圖形，即可得出結論；
（2）過A作AM⊥BC于M，AB²=AM²+BM²，AP²=AM²+MP²，利用平方差公式，結合圖形，即可得出結論；

解答 （1）證明：如圖①所示：過A作AM⊥BC于M，
則在Rt△ABM和Rt△APM中，
AB²=AM²+BM²，AP²=AM²+MP²，
則AB²-AP²=BM²-MP²=（BM+MP）（BM-MP）=CP（CM-MP）=BP•CP；
（2）解：不能成立；理由如下：如圖②所示：
過A作AM⊥BC于M，
則在Rt△ABM和Rt△APM中，
AB²=AM²+BM²，AP²=AM²+MP²
AP²-AB²=MP²-BM²=（MP+BM）（MP-BM）=BP（MP-CM）=BP•CP，
∴AP²-AB²=BP•CP．

點評 本題考查了勾股定理的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握勾股定理及平方差公式的形式．