Question

18．如圖，以AB為直徑的⊙O中，CD是弦，CD∥AB，連接AC，BD交于點M．
（1）求證：AM=BM；
（2）若⊙O的半徑為4，AC=2AD，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）先平行線的性質，得出∠ACD=∠BAC，再根據圓周角定理，得出∠ACD=∠ABD，即可得到∠BAC=∠ABD，進而得出AM=BM；
（2）設AD=x，則AC=2x，根據$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，得出AC=BD=2x，最后根據∠ADB=90°，得到AD²+BD²=AB²，即x²+（2x）²=8²，求得x的值即可．

解答 解：（1）證明：∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠ACD與∠ABD是$\widehat{AD}$所對的圓周角，
∴∠ACD=∠ABD，
∴∠BAC=∠ABD，
∴AM=BM；

（2）設AD=x，則AC=2x，
由（1）可知∠BAC=∠ABD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{AD}$，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴AC=BD=2x，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD²+BD²=AB²，
∴x²+（2x）²=8²，
又∵x＞0，
∴x=$\frac{8}{5}\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查了圓周角定理以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．