Question

6．將一條長度為40cm的繩子剪成兩段，并以每一段繩子的長度為周長圍成一個正方形．
（1）要使這兩個正方形的面積之和等于58cm²，那么這段繩子剪成兩段后的長度分別是多少？
（2）求兩個正方形的面積之和的最小值，此時兩個正方形的邊長分別是多少？

Answer 1

分析 （1）設其中一個正方形的邊長為xcm，則另一個正方形的邊長為（10-x）cm，依題意列方程即可得到結論；
（2）設兩個正方形的面積和為y，于是得到y=x²+（10-x）²=2（x-5）²+50，于是得到結論．

解答 解：（1）設其中一個正方形的邊長為xcm，則另一個正方形的邊長為（10-x）cm，
依題意列方程得x²+（10-x）²=58，
整理得：x²-10x+21=0，
解方程得x₁=3，x₂=7，
3×4=12cm，40-12=28cm，或4×7=28cm，40-28=12cm．
因此這段繩子剪成兩段后的長度分別是12cm、28cm；
（2）設兩個正方形的面積和為y，則y=x²+（10-x）²=2（x-5）²+50，
∴當x=5時，y_最小值=50，此時，10-5=5cm，
即兩個正方形的面積之和的最小值是50cm²，此時兩個正方形的邊長都是5cm．

點評 本題考查了二次函數的應用，二次函數的最值，正方形的性質，一元二次方程的應用，列出關系式并整理成頂點式形式是解題的關鍵．