Question

18．如圖，點A、B、C在一條直線上，△ABD、△BCE均為等邊三角形，連接AE和CD，AE分別交BD、CD于點P、M，CD交BE于點Q，連接PQ．
求證：（1）∠DMA=60°；
（2）△BPQ為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質，可證明△ABE≌△DBC，可求得∠BAE=∠BDC，則可證得∠ABD=∠DMA=60°；
（2）由等邊三角形的性質，結合（1）中的結論可證明△ABP≌△DBQ，可得BP=BQ，則可證得結論．

解答 證明：
（1）∵△ABD、△BCE均為等邊三角形，
∴AB=DB，EB=CB，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE，
即∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠BAE=∠BDC}\\{EB=CB}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DBC （SAS），
∴∠BAE=∠BDC，
在△ABP和△DMP中，
∠BAE=∠BDC，∠APB=∠DPM，
∴∠DMA=∠ABD=60°；
（2）∵△ABD、△BCE均為等邊三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠EBC=60°，
∵點A、B、C在一條直線上，
∴∠DBE=60°，
即∠ABD=∠DBE，
由（1）得∠BAE=∠BDC，
在△ABP和△DBQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠EBC}\\{AB=DB}\\{∠BAE=∠BDC}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ為等邊三角形．

點評 本題主要考查全等三角形的判定和性質及等邊三角形的性質，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質（即對應邊相等、對應角相等）是解題的關鍵．