Question

10．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，現將一直角三角板的直角頂點放在AB的中點D處，兩直角板所在的直線分別與直線AC、直線BC相交于點E、F．我們把DE⊥AC時的位置定為起始位置（如圖①），將三角板繞點D順時針方向旋轉一個角度α（0°＜α＜90°）．若直線DE與直線BC交于點G，在旋轉過程中，當△EFG為等腰三角形時，則FG=2或2$\sqrt{2}$．（注：若x²=a，且x＞0，則x=$\sqrt{a}$）

Answer 1

分析 先根據ASA判定△DCE≌△DFB，得出DE=DF，再根據∠EDF=90°，得到△DEF是等腰直角三角形，進而得出∠FEG=45°，再分三種情況進行討論：當G在線段CB延長線上時；當G與B重合時；當G在線段BC上時，分別求得FG的長即可．

解答 解：∵AC=BC，∠C=90°，D為AB中點，連接CD，
∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，
∵∠DCB=∠B=45°，
∴CD=DB，
∵∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠FDB=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
在△DCE和△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDC=∠FDB}\\{CD=DB}\\{∠DCE=∠B}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△DFB（ASA），
∴DE=DF，
又∵∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠FEG=45°，
如圖，當G在線段CB延長線上時，∠FGE＜45°，∠EFG＞90°，

∴EF＜GF，
∴△EFG不是等腰三角形；
如圖，當G與B重合時，E與A重合，F與C重合，

此時FE=AC=2，FG=CB=2，
如圖，當G在線段BC上時，

根據∠EGF＞45°，∠EFG＞45°，∠FEG=45°，可得EF=EG，
∵EC⊥FG，
∴FC=CG，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDG=90°，
∴DC=$\frac{1}{2}$FG，即FG=2CD，
又∵等腰Rt△ABC中，CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴FG=2$\sqrt{2}$．
綜上所述，當△EFG為等腰三角形時，則FG=2或2$\sqrt{2}$．
故答案為：2或2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的判定以及全等三角形的判定與性質的綜合應用；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．解決問題的關鍵是判定△DEF是等腰直角三角形，解題時注意分類思想的運用．