Question

11．△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5．
（1）如圖1，若AD是∠BAC的平分線，DE∥AB，求CE的長與$\frac{CD}{BD}$的比值；
（2）如圖2，將邊AC折疊，使得AC在AB邊上，折痕為AM，再將邊MB折疊，使得MB'與MC'重合，折痕為MN，求AN的長．

Answer 1

分析 （1）先判定三角形ADE是等腰三角形，再根據(jù)平行線分線段成比例定理，求得CE的長；
（2）先根據(jù)兩角對應相等，判定△ABC∽△NB′C′，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，求得NC′與B′N的數(shù)量關系，最后結合BC′的長為2，求得NC′的長，進而得到AN的長度．

解答 解：（1）∵AD是∠BAC的平分線，DE∥AB，
∴∠EAD=∠BAD=∠EDA，
∴ED=EA，即△ADE是等腰三角形，
設CE=x，則AE=4-x=DE，
∵DE∥AB，
∴$\frac{DE}{BA}$=$\frac{CE}{CA}$，即$\frac{4-x}{6}$=$\frac{x}{4}$，
解得，CE=1.6，
∵DE∥AB，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CE}{EA}$=$\frac{2}{3}$；
（2））由折疊得，∠B=∠B′，∠C=∠MC′A=∠B′C′N，AC=AC′=4，
∴△ABC∽△NB′C′，
∴$\frac{NC′}{NB′}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
設NC′=2a，則BN=B′N=3a，
∵BC=AB-AC′=6-4=2，
∴NC′+BN=2，即2a+3a=2，
解得a=0.4，
∴NC′=2a=4.8，
∴AN=NC′+N′A=4.8．

點評 本題考查了平行線分線段成比例定理以及相似三角形的判定與性質，具有一定的難度．折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，解題時應重點把握對應邊相等，對應角相等．