Question

17．如圖，已知?ABCD的三個頂點A（n，0），B（m，0），D（0，2n）（m＞n＞0），作?ABCD關于直線AD的對稱圖形AB₁C₁D．
（1）若?ABCD是菱形，
①試求$\frac{m}{n}$的值；
②求證：CC₁=4n；
（2）若m=3，試求四邊形CC₁B₁B面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）①先根據勾股定理，Rt△AOD中，求得AD=$\sqrt{A{O}^{2}+D{O}^{2}}$=$\sqrt{5{n}^{2}}$=$\sqrt{5}$n，再根據A（n，0），B（m，0），得出AB=m-n，最后根據AD=AB，得到$\sqrt{5}$n=m-n，進而得出$\frac{m}{n}$的值；
②設CC₁與AD交于點E，根據平行線的性質，得出∠CDE=∠DAO，再根據軸對稱的性質得出，∠CED=90°=∠DOA，CE=C₁E，再判定△CDE≌△DAO（AAS），即可得出CE=DO=2n，進而得到CC₁=4n；
（2）根據四邊形BCEF、四邊形B₁C₁EF都是平行四邊形，易證S_?BCEF=S_?BCDA=S_?B1C1DA=S_?B1C1EF，從而可得S_?BCC1B1=2S_?BCDA=-4（n-$\frac{3}{2}$）²+9，根據二次函數的性質就可求得四邊形CC₁B₁B面積S的最大值．

解答 解：（1）①∵A（n，0），D（0，2n），
∴AO=n，DO=2n，
∴Rt△AOD中，AD=$\sqrt{A{O}^{2}+D{O}^{2}}$=$\sqrt{5{n}^{2}}$=$\sqrt{5}$n，
∵A（n，0），B（m，0），
∴AB=m-n，
當?ABCD是菱形時，AD=AB，
∴$\sqrt{5}$n=m-n，即（$\sqrt{5}$+1）n=m，
∴$\frac{m}{n}$=$\sqrt{5}$+1；

②設CC₁與AD交于點E，
∵CD∥x軸，
∴∠CDE=∠DAO，
∵點C與點C₁關于直線AD對稱，
∴AD垂直平分CC₁，
∴∠CED=90°=∠DOA，CE=C₁E，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=DA，
在△CDE和△DAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CED=∠DOA}\\{∠CDE=∠DAO}\\{CD=DA}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△DAO（AAS），
∴CE=DO=2n，
∴C₁E=2n，
∴CC₁=2n+2n=4n；

（2）∵?ABCD與四邊形AB₁C₁D關于直線AD對稱，
∴四邊形AB₁C₁D是平行四邊形，CC₁⊥EF，BB₁⊥EF，
∴BC∥AD∥B₁C₁，CC₁∥BB₁，
∴四邊形BCEF、四邊形B₁C₁EF都是平行四邊形，
∴S_?BCEF=S_?BCDA=S_?B1C1DA=S_?B1C1EF，
∴S_?BCC1B1=2S_?BCDA，
∵A（n，0），B（m，0），D（0，2n），m=3，
∴AB=m-n=3-n，OD=2n，
∴S_?BCDA=AB•OD=（3-n）•2n=-2（n²-3n）=-2（n-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{2}$，
∴S_?BCC1B1=2S_?BCDA=-4（n-$\frac{3}{2}$）²+9，
∵-4＜0，
∴當n=$\frac{3}{2}$時，S_?BCC1B1最大值為9．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質，軸對稱的性質、全等三角形的判定與性質、二次函數的最值、勾股定理等知識的綜合應用．解題時得到S_?BCC1B1=2S_?BCDA是解決第（2）小題的關鍵．解題時注意：確定一個二次函數的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標．