Question

把y₁=-

1

2

x²的圖象向右平移1個單位，再向上平移使平移后的圖象經過原點，對應的函數關系式為y₂=ax²+bx+c
（1）求圖中陰影部分面積；
（2）求平移后的圖象對應的函數關系式；
（3）求使y₁隨x增大而減少且y₂隨x增大而增大的x的范圍．

Answer 1

考點：二次函數圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）根據原拋物線的頂點坐標，由平移規律進而求得新拋物線的解析式，把（0，0）代入即可得到新拋物線解析式，陰影部分的面積等于三角形的面積，再根據三角形的面積公式列式計算即可得解．
（2）根據（1）的解題過程可以得到新拋物線的解析式；
（3）根據圖示可以直接得到答案．

解答： 解：（1）設平移后拋物線的解析式為y=-

1

2

（x-1）²+b．
把（0，0）代入得到：0=-

1

2

（0-1）²+b，
解得 b=

1

2

．
則平移后拋物線的頂點坐標是（1，

1

2

）．
如圖，連接OA、OB．則圖中陰影部分的面積=

1

2

×2×

1

2

×1=

1

2

；

（2）由（1）易得新拋物線的解析式為：y=-

1

2

（x-1）²+

1

2

=-

1

2

x²-x+1．

（3）由圖示知，當0＜x＜1時，y₁隨x增大而減少且y₂隨x增大而增大．

點評：本題考查了二次函數圖象與幾何變換．討論兩個二次函數的圖象的平移問題，只需看頂點坐標是如何平移得到的即可．