Question

如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD⊥DE，點F是AE的中點，FD與AB的延長線相交于點M，連結MC．
（1）求證：∠FMC=∠FCM；
（2）AD與MC垂直嗎？請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）根據等腰直角三角形的性質得出DF⊥AE，DF=AF=EF，再證明△DFC≌△AFM，得出FC=FM，即可證出結論；
（2）由（1）得：∠DFC=90°，DF=EF，∠FDE=∠FMC=45°，再證明DE∥MC，即可得出結論．

解答： 解：（1）證明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中點，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
∴∠AFM=90°，
∴∠FAM+∠AMF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠FAM+∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，

∠DFC=∠AFM=90°   ∠DCF=∠AMF   DF=AF

，
∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴FC=FM，
∴∠FMC=∠FCM；
（2）AD⊥MC；理由如下：
由（1）得：∠DFC=90°，DF=EF，FM=FC，
∴∠FDE=∠FMC=45°，
∴DE∥MC，
∵AD⊥DE，
∴AD⊥MC．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質與判定以及全等三角形的判定與性質；熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關鍵．