Question

10．如圖，弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)P，求證：PA•PB=PC•PD．

Answer 1

分析 連接AC，DB，由圓周角定理得出∠CAB=∠CDB，證出△APC∽△DPB，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出比例式，變形后即可得證．

解答 證明：連接AC、BD，如圖所示：
∵∠CAB、∠CDB所對應(yīng)圓弧都為弧BC，
∴∠CAB=∠CDB，
∵∠APC=∠DPB，
∴△APC∽△DPB，
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}$，
∴PA?PB=PC?PD．

點(diǎn)評 此題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握圓周角定理，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．