Question

1．在矩形ABCD中，BC=10cm、DC=6cm，點E、F分別為邊AB、BC上的兩個動點，E從點A出發以每秒5cm的速度向B運動，F從點B出發以每秒3cm的速度向C運動，設運動時間為t秒．若∠AFD=∠AED，則t的值為（　　）

• A． $\sqrt{2}-1$
• B． 0.5
• C． $\frac{2}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 根據題意知AE=5t、BF=3t，由$\frac{AE}{AD}$=$\frac{t}{2}$=$\frac{BF}{AB}$且∠DAE=∠ABF=90°證△ADE∽△BAF得∠2=∠3，結合∠3=∠4、∠1=∠2得∠1=∠4，即可知DF=DA，從而得6²+（10-3t）²=10²，解之可得t的值，繼而根據0≤5t≤6且0≤3t≤10取舍可得答案．

解答 解：如圖，

根據題意知，AE=5t，BF=3t，
∵BC=10cm，DC=6cm，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{5t}{10}$=$\frac{t}{2}$，$\frac{BF}{AB}$=$\frac{3t}{6}$=$\frac{t}{2}$，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{AB}$，
又∵∠DAE=∠ABF=90°，
∴△ADE∽△BAF，
∴∠2=∠3，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠4，
∴∠2=∠4，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠4，
∴DF=DA，即DF²=AD²，
∵BF=3t，BC=10，
∴CF=10-3t，
∴DF²=DC²+CF²，即DF²=6²+（10-3t）²，
∴6²+（10-3t）²=10²，
解得：t=$\frac{2}{3}$或t=6，
∵0≤5t≤6且0≤3t≤10，
∴0≤t≤$\frac{6}{5}$，
∴t=$\frac{2}{3}$，
故選：C．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質、勾股定理、等角對等邊和矩形的性質等知識點，根據對應邊成比例且夾角相等得出兩三角形相似繼而由等角對等邊得出關于t的方程是解題的關鍵．