Question

13．如圖，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，且∠A=60°，P是AB延長線上一動點，聯結PC并延長交AD的延長線于點Q，聯結BQ交PD于點R
（1）設BP=x，DQ=y，求y與x的函數解析式，并寫出定義域；
（2）求∠PRQ的度數．

Answer 1

分析 （1）根據平行線的性質，得出∠DQC=∠BCP，∠QDC=∠CBP=60°，即可得到△QDC∽△PBC，進而得出$\frac{DQ}{BC}=\frac{CD}{PB}$，即$\frac{y}{a}=\frac{a}{x}$，最后得出y與x的函數解析式；
（2）連接BD，根據四邊形ABCD是邊長為a的菱形，且∠A=60°，得出∠QDB=∠DBP，再根據$\frac{QD}{BD}$=$\frac{a}{x}$，$\frac{BD}{PB}$=$\frac{a}{x}$，即可得到$\frac{QD}{BD}$=$\frac{BD}{PB}$，進而判定∠QDB∽△DBP，從而得出∠BDP=∠DQB，最后根據∠PRQ是△QDR的外角，即可得出∠PRQ=∠DQB+∠QDR=∠BDP+∠QDR=∠BDQ=120．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是邊長為a的菱形，∠A=60°，
∴CD=BC=a，AD∥BC，∠ADC=∠ABC=120°，
∴∠DQC=∠BCP，∠QDC=∠CBP=60°，
∴△QDC∽△PBC，
∴$\frac{DQ}{BC}=\frac{CD}{PB}$，
即$\frac{y}{a}=\frac{a}{x}$，
∴y=$\frac{{a}^{2}}{x}$（x＞0）；

（2）連接BD，
∵四邊形ABCD是邊長為a的菱形，且∠A=60°，
∴∠ABC=∠ADC=120°，∠ADB=∠ABD=60°，BD=AB=a，
∴∠QDB=180°-∠ADB=120°，∠DBP=180°-∠ABD=120°，
∴∠QDB=∠DBP，
又∵$\frac{QD}{BD}$=$\frac{y}{a}$=$\frac{\frac{{a}^{2}}{x}}{a}$=$\frac{a}{x}$，$\frac{BD}{PB}$=$\frac{a}{x}$，
∴$\frac{QD}{BD}$=$\frac{BD}{PB}$，
∴∠QDB∽△DBP，
∴∠BDP=∠DQB，
∵∠PRQ是△QDR的外角，
∴∠PRQ=∠DQB+∠QDR=∠BDP+∠QDR=∠BDQ=120．

點評 本題主要考查了菱形的性質以及相似三角形的判定與性質的運用，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用．