Question

2．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P為△ABC外一點，PA=2$\sqrt{2}$，PB=7，PC=3．
（1）求∠APB的度數；
（2）求AB的長度．

Answer 1

分析 （1）將△APC繞點A順時針旋轉90°，由AB=AC、∠BAC=90°知旋轉后點C與點B重合、點P與點Q重合，即△APC≌△AQB，從而得AP=AQ=2$\sqrt{2}$、PC=BQ=3，由勾股定理得PQ=4，根據BQ+PQ=3+4=PB知點B、Q、P三點共線，即可得∠APB=∠APQ=45°；
（2）由△APC≌△AQB知∠APC=∠AQB=180°-∠AQP=135°，繼而得∠BPC=∠APC-∠APQ=135°-45°=90°，利用勾股定理求得BC=$\sqrt{B{P}^{2}+C{P}^{2}}$=$\sqrt{58}$，根據等腰直角三角形的性質得AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\sqrt{29}$．

解答 解：（1）如圖1，將△APC繞點A順時針旋轉90°，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴旋轉后點C與點B重合，點P與點Q重合，
則△APC≌△AQB，
∴AP=AQ=2$\sqrt{2}$，PC=BQ=3，
∵PQ=$\sqrt{A{P}^{2}+A{Q}^{2}}$=4，
∴BQ+PQ=3+4=PB，
則點B、Q、P三點共線，
∴∠APB=∠APQ=45°；

（2）如圖2，

∵△APC≌△AQB，
∴∠APC=∠AQB=180°-∠AQP=135°，
∴∠BPC=∠APC-∠APQ=135°-45°=90°，
∵BP=7，CP=3，
∴BC=$\sqrt{B{P}^{2}+C{P}^{2}}$=$\sqrt{58}$，
又∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\sqrt{29}$．

點評 本題主要考查旋轉的定義和性質、全等三角形的性質及勾股定理、等腰直角三角形的性質等，利用旋轉將分散的三條線段PA、PB、PC融合到一起是解題的關鍵．