Question

12．如圖，一次函數y=-2x-2的圖象分別交x軸、y軸于點B、A，與反比例函數y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的圖象在第二象限交于點M，△OBM的面積是1．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）若x軸上的點P與點A，M是以AM為直角邊的直角三角形的三個頂點，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）分別令y=-2x-2中x、y=0求出點A、B的坐標，再根據三角形的面積公式結合△OBM的面積是1求出點M的縱坐標，將其代入一次函數解析式中求出點M的坐標，根據點M的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出反比例函數的解析式；
（2）找出點P并過點M作MC⊥x軸于點C，分∠BMP₁=90°和∠BAP₂=90°兩種情況考慮，利用相似三角形的判定與性質即可求出BP₁、BP₂的長度，結合點B的坐標即可得出結論．

解答 解：（1）令x=0，y=-2x-2=-2，
∴點A的坐標為（0，-2）；
令y=-2x-2=0，解得：x=-1，
∴點B的坐標為（-1，0）．
∵S_△OBM=$\frac{1}{2}$OB•y_M=$\frac{1}{2}$y_M=1，
∴y_M=2，
當y=-2x-2=2時，x=-2，
∴點M的坐標為（-2，2）．
∵點M在反比例函數y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的圖象上，
∴m=-2×2=-4，
∴反比例函數的解析式為y=-$\frac{4}{x}$．
（2）依照題意找出點P并過點M作MC⊥x軸于點C，如圖所示．
當∠BMP₁=90°時，∵∠BMP₁=∠BCM，∠MBP₁=∠CBM，
∴△BMP₁∽△BCM，
∴$\frac{BC}{BM}=\frac{BM}{B{P}_{1}}$．
∵點B（-1，0），點M（-2，2），
∴點C（-2，0），
∴BC=1，BM=$\sqrt{5}$，
∴BP₁=5，
∴點P₁的坐標為（-6，0）；
當∠BAP₂=90°時，同理可由△BAP₂∽△BCM求出點P₂的坐標為（4，0）．
綜上所述：點P的坐標為（-6，0）或（4，0）．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、一次函數圖象上點的坐標特征、反比例函數圖象上點的坐標特征以及相似三角形的判定與性質，根據相似三角形的性質找出各邊之間的比例關系是解題的關鍵．