Question

2．在⊙O中，半徑OA、OB互相垂直，點C為弧$\widehat{AB}$上一點（不與A、B重合），CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E，點G、H分別在CE、CD上，且CG=$\frac{1}{3}$CE，CH=$\frac{1}{3}$CD，當C點在弧$\widehat{AB}$上順時針運動時，已知⊙O的半徑長為6，則GH的長度為（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1.5
• D． 無法確定

Answer 1

分析 先利用垂直判斷出四邊形OECD是矩形，即可得出DE=OC=6，再用兩邊對應成比例夾角相等的兩三角形相似，得出△CHG∽△CDG，即：$\frac{GH}{DE}=\frac{CH}{CD}=\frac{1}{3}$，即可得出結論．

解答 解：如圖，連接OC，DE，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CEO=∠CDO=90°，
∵半徑OA、OB互相垂直，
∴∠AOB=90°，
∴∠CEO=∠CDO=∠AOB=90°，
∴四邊形ODCE是矩形，
∴DE=OC=6，
∵CG=$\frac{1}{3}$CE，CH=$\frac{1}{3}$CD，
∴$\frac{CG}{CE}=\frac{1}{3}$，$\frac{CH}{CD}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CG}{CE}=\frac{CH}{CD}$=$\frac{1}{3}$，
∵∠HCG=∠DCE，
∴△CHG∽△CDG，
∴$\frac{GH}{DE}=\frac{CH}{CD}=\frac{1}{3}$，
∴GH=$\frac{1}{3}$DE=2，
故選B．

點評 此題是相似三角形的判定與性質，主要考查了矩形的判定和性質，解本題的關鍵是得出DE=OC=6，是一道很好的基礎題．