Question

4．如圖，P是等邊三角形ABC內一點，將線段AP繞點A順時針旋轉60°得到AQ，連接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，則三角形PBQ的面積為（　�。�

• A． 12
• B． 40
• C． 30
• D． 24

Answer 1

分析 連接PQ，如圖，先利用旋轉的性質得到AP=AQ=6，∠PAQ=60°，則可判斷△APQ為等邊三角形，所以PA=AP=6，再利用△ABC為等邊三角形得到AB=AC，∠BAC=60°，則根據旋轉的定義可判斷△APC繞點A順時針旋轉60°得到△AQB，所以BQ=PC=10，然后根據勾股定理的逆定理可證明△PBQ為直角三角形，∠BPQ=90°，最后利用三角形面積公式求解．

解答 解：連接PQ，如圖，
∵線段AP繞點A順時針旋轉60°得到AQ，
∴AP=AQ=6，∠PAQ=60°，
∴△APQ為等邊三角形，
∴PA=AP=6，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴△APC繞點A順時針旋轉60°得到△AQB，
∴BQ=PC=10，
在△BPQ中，∵PB=8，PQ=6，BQ=10，
∴PB²+PQ²=BQ²，
∴△PBQ為直角三角形，∠BPQ=90°，
∴三角形PBQ的面積=$\frac{1}{2}$×6×8=24．
故選D．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質和勾股定理的逆定理．