Question

19．已知a²+b²-2a-4b+5=0，求$\frac{1}{a（b+1）}$+$\frac{1}{（a+2）（b+3）}$+$\frac{1}{（a+4）（b+5）}$+…+$\frac{1}{（a+2012）（b+2013）}$的值．

Answer 1

分析 已知等式配方整理后，利用非負數的性質求出a與b的值，代入原式后再利用拆項法變形，計算即可求出值．

解答 解：已知等式整理得：a²-2a+1+b²-4b+4=0，即（a-1）²+（b-2）²=0，
∴a-1=0，b-2=0，
解得：a=1，b=2，
則原式=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2013×2015}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2015}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{2014}{2015}$=$\frac{1007}{2015}$．

點評 此題考查了配方法的應用，非負數的性質：偶次冪，以及分式的化簡求值，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．