Question

14．如圖，點A的坐標為（0，3），點B的坐標為（6，$\frac{3}{2}$），點P是x軸上一點，且PA+PB的值最小．
（1）求點P的坐標；
（2）在x軸上有一點M，點M、A、P恰好為等腰△APM的三個頂點．
①若AP為△APM的腰，直接寫出點M的坐標；
②若PA為△APM的底邊，求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作點C與點A關于x軸對稱，連接BC交x軸于p，此時PA+PB最小．求出BC的解析式即可解決問題．
（2）①在Rt△AOP中，OA=3，OP=4，可知AP=5，分兩種情形討論A為等腰三角形的頂角，P為等腰三角形的頂角即可．
②如圖2中，作AP的垂直平分線交AP于N，交x軸于M，設OM=x，則AM=PM=4-x，在Rt△AOM中，根據AM²=OA²+OM²，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作點C與點A關于x軸對稱，連接BC交x軸于p，此時PA+PB最小．

∴點C的坐標為（0，-3），
設直線BC的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=\frac{3}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-3，
令y=0，$\frac{3}{4}$x-3=0，x=4，
∴點P坐標為（4，0）．
（2）①在Rt△AOP中，OA=3，OP=4，
∴AP=5，
∴AP為△APM的腰，點M的坐標為（9，0）或（-1，0）或（-4，0）．

②如圖2中，作AP的垂直平分線交AP于N，交x軸于M，

∵MA=MP，設OM=x，則AM=PM=4-x，
在Rt△AOM中，∵AM²=OA²+OM²，
∴x²+3²=（4-x）²，
∴x=$\frac{7}{8}$，
∴點M坐標（$\frac{7}{8}$，0）．

點評 本題考查軸對稱-最短問題、周邊游圖形的性質、等腰三角形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，需要用分類討論的思想思考問題，學會利用對稱解決最值問題，屬于中考常考題型．