Question

2．如圖，△ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點E、H分別在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求證：△AEH∽△ABC；
（2）求這個正方形的邊長與周長．

Answer 1

分析 （1）根據四邊形EFGH是正方形，得到EH∥BC，進而得出∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，即可判定△AEH∽△ABC；
（2）設正方形EFGH的邊長為x，則DM=x，AM=30-x，根據△AEH∽△ABC，得出$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AM}{AD}$，即$\frac{x}{40}$=$\frac{30-x}{30}$，進而解得x=$\frac{120}{7}$，即可得出正方形的邊長與周長．

解答 解：（1）∵四邊形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，
∴△AEH∽△ABC；

（2）如圖，設AD與EH交于點M，
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，
∴四邊形EFDM是矩形，
∴EF=DM，
設正方形EFGH的邊長為x，則DM=x，AM=30-x，
∵△AEH∽△ABC，
∴$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AM}{AD}$，即$\frac{x}{40}$=$\frac{30-x}{30}$，
解得x=$\frac{120}{7}$，
∴正方形EFGH的邊長為$\frac{120}{7}$cm，周長為$\frac{480}{7}$cm．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質，正方形、矩形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是運用相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比等于相似比列方程求解．