Question

12．如圖，點O為Rt△ABC斜邊AB上一點，以OA為半徑的⊙O與BC切于點D，與AC交于點E，連接AD、OD．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求弧$\widehat{AD}$的長（結果保留π）．

Answer 1

分析 （1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易證得AC∥OD，繼而證得AD平分∠CAB；
（2）求出∠AOD的度數(shù)，根據(jù)弧長公式求出即可．

解答 （1）證明：∵⊙O切BC于D，
∴OD⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴AC∥OD，
∴∠CAD=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠CAD，
即AD平分∠CAB；

（2）解：∵由（1）知：OD∥AC，
又∵∠BAC=60°，
∴∠AOD+∠BAC=180°，
∴∠AOD=120°，
∵OA=2，
∴$\widehat{AD}$的長為$\frac{120π×2}{180}$=$\frac{4}{3}$π．

點評 本題考查了平行線的性質，切線的性質，弧長公式的計算等知識點，能靈活運用定理和性質進行推理和計算是解此題的關鍵．