Question

17．已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），經過點（1，1）和（-1，0），下列結論：
①a-b+c=0；②b²＜4ac；③當a＜0時，拋物線與x軸必有一個交點在（1，0）的右側；④拋物線的對稱軸是直線x=-$\frac{1}{4a}$．
其中正確的結論是①③④（只填序號）

Answer 1

分析 ①由拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點（-1，0），得到a-b+c=0，故①正確；②由拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點（1，1），于是得到a+b+c=1，由于a-b+c=0，得到a+c=12，b=12．推出b²-4ac=14-4a（12-a）=14-2a+4a²=（2a-12）²≥0，于是得到故②錯誤；③當a＜0時，由b²-4ac=（2a-12）²＞0，得到拋物線y=ax²+bx+c與x軸有兩個交點，設另一個交點的橫坐標為x，根據根浴系數的關系得到x=1-$\frac{1}{2a}$＞1，即拋物線與x軸必有一個交點在點（1，0）的右側，故③正確；④拋物線的對稱軸公式即可得到x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{\frac{1}{2}}{2a}$=-$\frac{1}{4a}$，故④正確．

解答 解：①∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點（-1，0），∴a-b+c=0，故①正確；
②∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點（1，1），∴a+b+c=1，又a-b+c=0，
兩式相加，得2（a+c）=1，a+c=12，
兩式相減，得2b=1，b=12．
∵b²-4ac=14-4a（12-a）=14-2a+4a²=（2a-12）²，
當2a-12=0，即a=14時，b²-4ac=0，故②錯誤；
③當a＜0時，∵b²-4ac=（2a-12）²＞0，
∴拋物線y=ax²+bx+c與x軸有兩個交點，設另一個交點的橫坐標為x，
則-1•x=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{1}{2}-a}{a}$=$\frac{1}{2a}$-1，即x=1-$\frac{1}{2a}$，
∵a＜0，∴-$\frac{1}{2a}$＞0，
∴x=1-$\frac{1}{2a}$＞1，
即拋物線與x軸必有一個交點在點（1，0）的右側，故③正確；
④拋物線的對稱軸為x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{\frac{1}{2}}{2a}$=-$\frac{1}{4a}$，故④正確．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了二次函數的圖象與系數的關系熟練掌握y=ax²+bx+c系數符號的確定：（1）a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a＞0；否則a＜0．（2）b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x=$\frac{b}{2a}$判斷符號．（3）c由拋物線與y軸的交點確定：交點在y軸正半軸，則c＞0；否則c＜0．（4）b²-4ac由拋物線與x軸交點的個數確定：2個交點，b²-4ac＞0；1個交點，b²-4ac=0；沒有交點，b²-4ac＜0，是解題的關鍵．