Question

1．如圖①，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，將∠MPN繞點P從PB處開始按順時針方向旋轉，PM交邊AB（或AD）于點E，PN交邊AD（或CD）于點F，當PN旋轉至PC處時，∠MPN的旋轉隨即停止．
（1）特殊情形：如圖②，發現當PM過點A時，PN也恰巧過點D，此時，△ABP∽△PCD（填“≌”或“～”）；
（2）類比探究：如圖③，在旋轉過程中，$\frac{PE}{PF}$的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似，即可判定△ABP∽△PCD；
（2）過點F作FG⊥BC于G，則∠B=∠FGP，先判定△EBP∽△GPF，得出$\frac{PE}{PF}$=$\frac{PB}{FG}$，再根據$\frac{PB}{FG}$=$\frac{1}{2}$，即可得出$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）如圖②所示，∵∠MPN=90°，∠B=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°=∠CPD+∠APB，
∴∠BAP=∠CPD，
又∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD；
故答案為：∽；

（2）在旋轉過程中，$\frac{PE}{PF}$的值為定值．
證明：如圖③所示，過點F作FG⊥BC于G，則∠B=∠FGP，
∵∠MPN=90°，∠B=90°，
∴∠BEP+∠EPB=90°=∠CPF+∠EPB，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△EBP∽△GPF，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{PB}{FG}$，
∵矩形ABGF中，FG=AB=2，而PB=1，
∴$\frac{PB}{FG}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{PE}{PF}$的值為定值$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質，矩形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是根據相似三角形的對應邊成比例進行推導計算．