Question

7．已知菱形ABCD中，∠B=60°，AD=4$\sqrt{2}$，點P、M、N分別為AC、AB、BC上的動點，則PM+PN的最小值是2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 如圖，作AH⊥BC于H．首先證明△ABC，△ADC的是等邊三角形，作點M關于直線AC的對稱點M′，因為PM+PN=PM′+PN，所以欲求PM+PN是最小值，只要求PM′+PN的最小值，所以根據垂線段最短，當M″、P、N′共線時，M″N′⊥BC時，PM″+PN′的值最小，易證四邊形AHN′M″是矩形，所以N′M″=AH=AB•sin60°，由此即可解決問題．

解答 解：如圖，作AH⊥BC于H．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠B=∠D=60°，
∴△ABC，△ADC的是等邊三角形，
作點M關于直線AC的對稱點M′，
∵PM+PN=PM′+PN，
∴欲求PM+PN是最小值，只要求PM′+PN的最小值，
∴根據垂線段最短，
當M″、P、N′共線時，M″N′⊥BC時，PM″+PN′的值最小，
易證四邊形AHN′M″是矩形，
∴N′M″=AH=AB•sin60°=4$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{6}$，
故答案為2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查軸對稱最短問題、菱形的性質、等邊三角形的判定和性質、垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，把最短問題轉化為垂線段最短，屬于中考常考題型．