Question

16．如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC=6，BD=8．點E為AD邊上一動點，點F為CD邊上一動點，且滿足∠EOF=∠DAC，點E、F關于直線AC的對稱點為G、H．
（1）求證：△AOE∽△CFO；
（2）若線段AE=x，四邊形AGOE與四邊形CHOF的面積和為S．
①求S關于x的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍；
②當S=$\frac{72}{5}$時，線段EF的長．

Answer 1

分析 （1）根據菱形的性質得到AD=CD得到∠DAC=∠DCA，根據三角形的內角和和平角的定義得到∠FOC=∠AEO，于是得到結論；
（2）根據菱形的性質得到AO=3，BO=4，由勾股定理得到AD=CD=5，過O作OM⊥AD，ON⊥CD，根據三角形的面積公式得到OM=ON=$\frac{12}{5}$，根據相似三角形的性質得到CF=$\frac{9}{x}$，根據軸對稱的性質得到S_△AOG=S_△AOE，S_△COH=S_△COF，于是得到結論；②當S=$\frac{72}{5}$時，求得x=3，得到AE=CF=3，DE=DF=2，根據相似三角形的判定和性質即刻得到結論．

解答 （1）證明：在菱形ABCD中，
∵AD=CD
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠EOF=∠DAC，
∴∠AEO=180°-∠EAO-∠AOE，∠FOC=180°-∠AOE-∠EOF，
∴∠FOC=∠AEO，
∴△AOE∽△CFO；

（2）解：在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC=6，BD=8，
∴AO=3，BO=4，
∴AD=CD=5，
過O作OM⊥AD，ON⊥CD，
∴OM=ON=$\frac{12}{5}$，
∵△AOE∽△CFO，
∴$\frac{AE}{OC}=\frac{AO}{CF}$，
∴CF=$\frac{9}{x}$，
∵點E、F關于直線AC的對稱點為G、H，
∴S_△AOG=S_△AOE，S_△COH=S_△COF，
∵①S_△AOE=$\frac{6}{5}$x，S_△COF=$\frac{54}{5x}$，
∴S=$\frac{12}{9}$（$\frac{9}{x}$+x）（$\frac{9}{5}≤x≤5$），
②當S=$\frac{72}{5}$時，x=3，
∴AE=CF=3，DE=DF=2，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{DF}{CD}$，∠ADC=∠EDF，
∴△DEF∽△ADC，
∴$\frac{EF}{6}=\frac{2}{5}$，
∴EF=$\frac{12}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，菱形的性質，軸對稱的性質，求函數的解析式，熟練掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．