Question

12．△ABC中，∠A=38°，BD是AC邊上的高，且BD²=AD•CD，則∠BCA的度數為52°或128°．

Answer 1

分析 根據相似三角形的判定，由已知可判定△ADB∽△BDC，進而求出∠A=∠CBD，即可求∠BCA的度數．

解答 解：有兩種可能：△ABC為銳角三角形或鈍角三角形時，
①當△ABC為銳角三角形時，
∵BD²=AD•CD，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{CD}{BD}$，
∵BD是AC邊上的高，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∴△ADB∽△BDC，
∴∠A=∠CBD，
∵∠A=38°，
∴∠CBD=38°，
∴∠BCA=∠BDC-∠CBD=90°-38°=52°．
②當△ABC為鈍角三角形時，
∵BD²=AD•CD，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{CD}{BD}$，
∵BD是AC邊上的高，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∴△ADB∽△BDC，
∴∠CBD=38°，
∴∠BCA=∠BDC+∠CBD=90°+38°=128°；
故答案為：52°或128°．

點評 本題考查相似三角形的判定與性質；熟練掌握相似三角形的判定與性質是解決問題的關鍵，注意分類討論．