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3.已知等邊△ABC的邊長為2,P是△ABC內一點,且點P到三邊BC、AC、AB的距離x、y、z之積為$\frac{\sqrt{3}}{9}$,則x、y、z的平方和為1.

分析 利用利用三角形的面積公式推出x+y+z=$\sqrt{3}$,結合條件,根據x+y+z≥3•$\root{3}{xyz}$,當且僅當x=y=z時,等號成立,推出x=y=z即可解決問題.

解答 解:∵△ABC是等邊三角形,
∴S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•22=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$•2•(x+y+z),
∵x+y+z=$\sqrt{3}$,
∵xyz=$\frac{\sqrt{3}}{9}$,
又∵x+y+z≥3•$\root{3}{xyz}$,當且僅當x=y=z時,等號成立,
∵x+y+z=$\sqrt{3}$,3•$\root{3}{xyz}$=3•$\root{3}{\frac{\sqrt{3}}{9}}$=$\root{3}{27×\frac{\sqrt{3}}{9}}$=$\root{3}{3\sqrt{3}}$=$\root{3}{(\sqrt{3})^{3}}$=$\sqrt{3}$,
∴x+y+z=3•$\root{3}{xyz}$,
∴x=y=z=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴x2+y2+z2=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$=1.
故答案為1.

點評 本題考查三角形綜合題、等邊三角形的性質,解題的關鍵是用到不等式:x+y+z≥3•$\root{3}{xyz}$,當且僅當x=y=z時,等號成立,只要證明等號成立,即可解決問題,屬于競賽題目.

練習冊系列答案
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