Question

7．如圖1，B、O、C在同一條直線上，∠AOB=α（0°＜α＜60°）．
（1）若∠BOD=90°，∠AOD=70°，∠AOE=70°，如圖2，求∠EOB與∠AOB的比值；
（2）若∠BOD=∠AOE=90°，OF平分∠AOD，OG平分∠AOC，如圖3，請比較∠AOF與∠GOC的大小，并求出∠FOG的度數(shù)；
（3）若∠AOM與∠AOB互余，∠BON也與∠AOB互余，請直接寫出∠MON的度數(shù)（用含a的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角的和差關(guān)系可求∠EOB與∠AOB，進一步求得它們的比值；
（2）先根據(jù)余角的定義可求∠AOD，再根據(jù)角平分線的定義求出∠AOF，先根據(jù)補角的定義可求∠AOC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠FOG，再比較∠AOF與∠GOC的大小，根據(jù)角的和差關(guān)系可求∠FOG的度數(shù)；
（3）分4種情況進行討論即可求解．

解答 解：（1）∵∠BOD=90°，∠AOD=70°，
∴∠AOB，90°-70°=20°，
∵∠AOE=70°，
∴∠EOB=70°-20°=50°，
∠EOB與∠AOB的比值；
（2）∵∠BOD=∠AOE=90°，
∴∠AOD=90°-α，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=$\frac{1}{2}$（90°-α），
∵∠AOC=180°-α，
∵OG平分∠AOC，
∴∠FOG=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∴∠AOF＜∠GOC，
∴∠FOG=180°-α-$\frac{1}{2}$（90°-α）-$\frac{1}{2}$（180°-α）=45°；
（3）∵∠AOM與∠AOB互余，∠BON也與∠AOB互余，
∴∠AOM=90°-α，∠BON=90°-α，
如圖①，∠MON=90°-（90°-α）=α；

如圖②，∠MON=90°+（90°-α）=180°-α；

如圖③，∠MON=（90°-α-α）+（90°-α）=180°-3α；

如圖④，∠MON=（90°-α）-（90°-α-α）=α．

故∠MON的度數(shù)為α或180°-α或180°-3α．

點評 本題考查的是鄰補角、余角和補角的概念，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．