Question

7．如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，連AD，BE相交于H，連CH
（1）如圖1，當α=60°時，求∠AHE與∠BHC；
（2）如圖2，當α=90°時，求∠AHE與∠BHC；
（3）如圖3，當α為銳角時，求∠AHE與∠BHC；
（4）如圖4，當α為鈍角時，求∠AHE與∠BHC．

Answer 1

分析 （1）只要證明△ACD≌△BCE，A、B、H、C四點共圓，即可解決問題．
（2）（3）（4）方法類似（1）．

解答 解：（1）如圖1中，
∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，α=60°，
∴△ABC，△CDE都是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ADC=∠BDH，
∴∠BHD=∠ACD=60°，
∴∠AHE=120°，A、B、H、C四點共圓，
∴∠BHC=180°-∠BAC=120°．

（2）如圖2中，
∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，α=90°，
∴△ABC，△CDE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∴A、B、H、C四點共圓，
∴∠BHA=∠ACB=90°，∠BHC=180°-∠BAC=135°
∴∠AHE=180°-∠BHA=90°．

（3）如圖3中，
∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，
∠ACD=∠BCE，
∴∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$α，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∴A、B、H、C四點共圓，
∴∠BHA=∠ACB=α，
∴∠AHE=∠ACB=α，∠BHC=180°-∠BAC=90°+$\frac{1}{2}$α．


（4）如圖4中，
∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，
∠ACD=∠BCE，
∴∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$α，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∴A、H、B、C四點共圓，
∴∠AHE=180°-∠ACB=180°-α，∠BHC=∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$α．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、四點共圓等知識，解題的關鍵是四點共圓的判定和性質，難點是用到四點共圓的判定．