Question

15．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點M，連結CO，CB．
（1）若AM=2，BM=8，求CD的長度；
（2）若CO平分∠DCB，求證：CD=CB．

Answer 1

分析 （1）根據垂徑定理得出CM=DM，再由已知條件得出圓的半徑為5，在Rt△OCM中，由勾股定理得出CM即可，從而得出CD；
（2）過點O作ON⊥BC，垂足為N，由角平分線的性質得出OM=ON，從而得出CB=CD．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴CM=DM，
∵AM=2，BM=8，
∴AB=10，
∴OA=OC=5，
在Rt△OCM中，OM²+CM²=OC²，
∴CM=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴CD=8；
（2）過點O作ON⊥BC，垂足為N，
∵CO平分∠DCB，
∴OM=ON，
∴CB=CD．

點評 本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及勾股定理，掌握定理的內容并熟練地運用是解題的關鍵．