Question

11．如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線(xiàn)用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．

（1）圖2中的陰影部分的面積為（b-a）²；
（2）觀(guān)察圖2請(qǐng)你寫(xiě)出（a+b）²、（a-b）²、ab之間的等量關(guān)系是（a+b）²-（a-b）²=4ab；
（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，若x+y=7，xy=$\frac{45}{4}$，則x-y=±2；
（4）實(shí)際上通過(guò)計(jì)算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式．根據(jù)圖3，寫(xiě)出一個(gè)因式分解的等式3a²+4ab+b²=（a+b）•（3a+b）．

Answer 1

分析 （1）陰影部分為邊長(zhǎng)為（b-a）的正方形，然后根據(jù)正方形的面積公式求解；
（2）在圖2中，大正方形有小正方形和4個(gè)矩形組成，則（a+b）²-（a-b）²=4ab；    
（3）由（2）的結(jié)論得到（x+y）²-（x-y）²=4xy，再把x+y=7，x•y=$\frac{45}{4}$得到（x-y）²=4，然后利用平方根的定義求解；
（4）觀(guān)察圖形得到邊長(zhǎng)為（a+b）與（3a+b）的矩形由3個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形、4個(gè)邊長(zhǎng)為a、b的矩形和一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形組成，則有3a²+4ab+b²=（a+b）•（3a+b）．

解答 解：（1）陰影部分為邊長(zhǎng)為（b-a）的正方形，所以陰影部分的面積（b-a）²，
故答案為：（b-a）²；

（2）圖2中，用邊長(zhǎng)為a+b的正方形的面積減去邊長(zhǎng)為b-a的正方形等于4個(gè)長(zhǎng)寬分別a、b的矩形面積，
所以（a+b）²-（a-b）²=4ab，
故答案為：（a+b）²-（a-b）²=4ab； 
   
（3）∵（x+y）²-（x-y）²=4xy，
而x+y=7，x•y=$\frac{45}{4}$，
∴7²-（x-y）²=4×$\frac{45}{4}$，
∴（x-y）²=4，
∴x-y=±2，
故答案為：±2；

（4）邊長(zhǎng)為（a+b）與（3a+b）的矩形面積為（a+b）（3a+b），它由3個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形、4個(gè)邊長(zhǎng)為a、b的矩形和一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形組成，
∴3a²+4ab+b²=（a+b）•（3a+b），
故答案為：3a²+4ab+b²=（a+b）•（3a+b）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了完全平方公式的幾何背景，此類(lèi)題目關(guān)鍵在于同一個(gè)圖形的面積用兩種不同的方法表示．