Question

10．在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中點，AC=2，AD=4．
（Ⅰ）如圖①，求CD，AB的長；
（Ⅱ）如圖②，過點C作CE∥AD，過點D作DE⊥BC，DE與CE相交于點E，求點D到CE的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在Rt△ACD中，根據勾股定理可求CD，根據中點的定義可求BC，再在Rt△ACB中，根據勾股定理可求AB；
（Ⅱ）先根據平行四邊形的判定得到四邊形ACED是平行四邊形，可求DE，CE，再根據三角形面積公式可求點D到CE的距離．

解答 解：（Ⅰ）在Rt△ACD中，CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵D是BC的中點，
∴BC=2CD=4$\sqrt{3}$，
在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{13}$；
（Ⅱ）∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴DE=AC=2，CE=AD=4，
∴點D到CE的距離為2$\sqrt{3}$×2÷2×2÷4=$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了勾股定理，平行四邊形的判定與性質，關鍵是熟練掌握勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．