Question

18．如圖，在已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，把△ABC繞點C順時針旋轉．
（1）如果點B落在邊AC上，得△A₁B₁C，求∠AB₁A₁的度數；
（2）如果點B落在邊AB上，得△A₂B₂C那么AB與A₂C平行嗎？請說明理由；
（3）在（2）的條件下，聯結AA₂，試說明△AB₂A₂≌△B₂AC的理由．

Answer 1

分析 （1）先根據等腰三角形的性質以及旋轉的性質，求得∠A₁B₁C=∠B=67.5°，再根據平角的定義求得∠AB₁A₁的度數；
（2）先根據等腰三角形的性質以及旋轉的性質，求得∠A₂CB₂=∠ACB=67.5°，進而得到∠CB₂B=∠B=67.5°，以及∠B₂CB=45°，根據角的和差關系得到∠BCA₂=112.5°，從而得出∠B+∠BCA₂=180°，進而判定AB∥A₂C；
（3）先根據等腰三角形的性質以及旋轉的性質，求得∠BAA₂+∠B=180°，得出AA₂∥BC，再根據AB∥A₂C，判定四邊形ABCA₂是平行四邊形，進而得出AA₂=BC，再根據CB=CB₂，可得AA₂=B₂C，最后根據SAS即可判定△AB₂A₂≌△B₂AC．

解答 解：（1）如圖所示，∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠B=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=67.5°，
由旋轉可得，∠A₁B₁C=∠B=67.5°，
∴∠AB₁A₁=180°-∠A₁B₁C=112.5°；


（2）AB∥A₂C．
理由：如圖所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=67.5°，
由旋轉可得，CB=CB₂，∠A₂CB₂=∠ACB=67.5°，
∴∠CB₂B=∠B=67.5°，
∴旋轉角∠B₂CB=45°，
∴∠BCA₂=45°+67.5°=112.5°，
∴∠B+∠BCA₂=180°，
∴AB∥A₂C；


（3）如圖所示，連接AA₂，
由（2）可得∠CB₂B=∠B=67.5°，
∴∠AB₂C=180°-67.5°=112.5°，
由旋轉可得，∠ACA₂=∠B₂CB=45°，AC=A₂C，
∴△ACA₂中，∠CAA₂=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACA₂）=67.5°，
∴∠B₂AA₂=∠BAC+∠CAA₂=45°+67.5°=112.5°，
∴∠BAA₂+∠B=112.5°+67.5°=180°，且∠B₂AA₂=∠AB₂C，
∴AA₂∥BC，
又∵AB∥A₂C，
∴四邊形ABCA₂是平行四邊形，
∴AA₂=BC，
又∵CB=CB₂，
∴AA₂=B₂C，
在△AB₂A₂和△B₂AC中，
$\left\{\begin{array}{l}{A{A}_{2}={B}_{2}C}\\{∠{B}_{2}A{A}_{2}=∠A{B}_{2}C}\\{A{B}_{2}={B}_{2}A}\end{array}\right.$，
∴△AB₂A₂≌△B₂AC（SAS）．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定以及平行四邊形的判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握旋轉的性質：旋轉前、后的圖形全等．解題時注意：平行四邊形的對邊相等．