Question

20．直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O．點(diǎn)C，點(diǎn)D分別為射線ON，OM上兩點(diǎn)，且滿足∠ACN=∠ODB=45°．

【特殊發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，若AO=OB，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，此時(shí)AO與BD的數(shù)量關(guān)系為AO=BD，AO與BD的位置關(guān)系為AO⊥BD；
【拓展探究】
（2）將圖1中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°，（0＜α＜45），如圖2所示，若AO=OB，求證：AC=BD，AC⊥BD；
【解決問題】
（3）如圖3，若kAO=OB，求$\frac{BD}{AC}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)∠BOD和∠2的度數(shù)，判斷DB與OB的數(shù)量關(guān)系以及位置關(guān)系，再得出AO與BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；
（2）先過點(diǎn)B作BE∥AC，通過判定△AOC≌△BOE，得到∠BED的度數(shù)，再根據(jù)∠BED和∠2的度數(shù)，判斷DB與EB的數(shù)量關(guān)系以及位置關(guān)系，再得出AC與BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；
（3）先過點(diǎn)B作BE∥AC，根據(jù)△AOC∽△BOE，得出BE與AC的比值，再根據(jù)DB=BE，得出BD與AC的比值．

解答 解：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，∠1=∠DOB=45°
∵∠2=45°
∴DB=OB，且∠B=90°，即△BOD是等腰直角三角形
又∵AO=OB
∴AO=BD
∵∠B=90°
∴DB⊥AB，即DB⊥AO
故答案為：AO=BD；AO⊥BD
（2）如圖2，過點(diǎn)B作BE∥AC，交MN于E，則∠A=∠OBE
∵AO=BO，∠AOC=∠BOE
∴△AOC≌△BOE（ASA）
∴AC=BE，∠ACO=∠BEO
∴∠1=∠BED=45°
又∵∠2=45°
∴∠DBE=90°，且DB=BE，即△BED是等腰直角三角形
∴DB⊥BE，AC=DB
又∵BE∥AC
∴AC⊥BD
（3）如圖3，過點(diǎn)B作BE∥AC，交MN于E，則△AOC∽△BOE
∴$\frac{BE}{AC}$=$\frac{BO}{AO}$=k，且∠ACO=∠BEO
∴∠1=∠BED=45°
又∵∠2=45°
∴DB=BE
∴$\frac{BD}{AC}$=k

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換以及等腰直角三角形，解決問題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解答此類試題時(shí)，需要作平行線構(gòu)造全等三角形或相似三角形進(jìn)行求解．