Question

8．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-1），二次函數(shù)y=-x²的圖象為C₁．
（1）平移拋物線C₁，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，但不過點(diǎn)B，則向下平移且經(jīng)過點(diǎn)A的解析式為y=-x²-1
（2）平移拋物線C₂，使平移后的拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，所得的拋物線為C₃，如圖2，求拋物線C₃的解析式及在AB上方的拋物線上找一點(diǎn)C，使△ABC的面積最大，并求這個(gè)最大面積．
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使S_△ABC=S_△ABP？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)平移以后的二次函數(shù)解析式是：y=-x²+c，把（1，-2）代入即可求得c的值，得到函數(shù)的解析式；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式，根據(jù)待定系數(shù)法求得AB的解析式，再設(shè)過點(diǎn)C與AB平行的直線的解析式，根據(jù)△=0求得C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步得到△ABC的面積；
（3）分當(dāng)點(diǎn)P位于AB的上方和下方兩種情況進(jìn)行討論求解．

解答 解：（1）設(shè)平移以后的二次函數(shù)解析式是：y=-x²+c，
把A（1，-2）代入得：-1+c=-2，
解得：c=-1，
則函數(shù)的解析式是：y=-x²-1．
故答案為：y=-x²-1；

（2）設(shè)C₂的解析式是y=-x²+bx+c，
因?yàn)镃₂經(jīng)過點(diǎn)A（1，-2）和B（3，-1），
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-2=-1+b+c}\\{-1=-9+3b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{9}{2}}\\{c=-\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，
則C₂的解析式是：y=-x²+$\frac{9}{2}$x-$\frac{11}{2}$，
設(shè)AB的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-2}\\{3k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
故AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
設(shè)過點(diǎn)C與AB平行的直線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+m，與C₂的解析式y(tǒng)=-x²+$\frac{9}{2}$x-$\frac{11}{2}$聯(lián)立得-x²+$\frac{9}{2}$x-$\frac{11}{2}$=$\frac{1}{2}$x+m，
即x²-4x+（m+$\frac{11}{2}$）=0，
△=16-4（m+$\frac{11}{2}$）=0，
解得m=-$\frac{3}{2}$，
則x=2，
y=-$\frac{1}{2}$，
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-$\frac{1}{2}$），
則S_△ABC=2×$\frac{3}{2}$-1×$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$-1×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$-2×1×$\frac{1}{2}$=1．

（3）AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，過點(diǎn)C與AB平行的直線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
①當(dāng)點(diǎn)P位于AB的上方時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-$\frac{3}{2}$）；
②當(dāng)點(diǎn)P位于AB的下方時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-$\frac{5}{2}$×2+$\frac{3}{2}$），即（0，-$\frac{7}{2}$）．
綜上所述，所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-$\frac{3}{2}$）或（0，-$\frac{7}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及函數(shù)的平移的綜合，正確理解平移時(shí)，函數(shù)解析式的變化規(guī)律是關(guān)鍵．