Question

10．如圖，平面直角坐標系中，以M（3，0）為圓心的⊙M交x軸負半軸于點A，交x軸正半軸于點B，交y軸正半軸于點C（0，4），交y軸負半軸于點D．
（1）求⊙M的半徑及點A坐標；
（2）在⊙M上是否存在點P，使∠CPM=45°？若存在，在圖①中畫出P點位置，并直接寫出P點的坐標，若不存在，請說明理由．
（3）在圖②中，過點C作⊙M的切線CE交過x軸負半軸于點E，過點A作AN⊥CE于點F，交⊙M于點N，求AN的值．

Answer 1

分析 （1）連接CM，構造Rt△COM，利用勾股定理可求得結論；
（2）假設存在這樣的點P，根據題意，可知△CMP為等腰直角三角形，且CM=MP=5，根據圓的方程和兩點直接的距離公式列出方程組，解之即可得出點P的坐標；
（3）作MH⊥AN于H，則AH=NH，易證△AMH≌△MCO，故AH=MO，由垂徑定理可證得結論．

解答 解：（1）如圖①，連接CM，
在Rt△COM中，OC=4，OM=3，CM=$\sqrt{O{C}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴AM=5，
∴OA=2，
∴⊙M的半徑為5，A（-2，0）；

（2）假設存在這樣的點P（x，y），結合題意，
可得△CMP為等腰直角三角形，且CM=PM=5，
故CP=5$\sqrt{2}$；
結合題意有，
$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+{y}^{2}=25}\\{{x}^{2}+（y-4）^{2}=50}\end{array}\right.$；
解之得：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=7}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$、$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
即存在兩個這樣的點P；
P₁（7，3），P₂（-1，-3）；

（3）證明：如圖2，連接CM，作MH⊥AN于H，
則AH=HN，
∵EC切⊙M，
∴∠ECM=90°，
∴四邊形DMCF是矩形，
∴∠CMH=90°，
在△AMH和△MCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMO=∠MAH=90°-∠AMH}\\{∠COM=∠ADM=90°}\\{CM=AM}\end{array}\right.$
∴△AMH≌△MCO，
∴AH=M0=3，
即AN=HN+AH=3+3=6．

點評 本題主要考查的是垂徑定理的應用和切線與圓之間的性質關系，勾股定理，全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，方程組的解法，綜合性強，能夠熟練掌握垂徑定理的應用和切線與圓之間的性質關系是解題的關鍵．