Question

15．某企業接到一批零件的加工任務，要求在20天內完成，這批零件的出廠價為每個6元．為按時完成任務，該企業招收了新工人，在6天的培訓期內，新工人小亮第x天能加工80x個零件，培訓后小亮第x天內加工的零件個數為（50x+200）個．
（1）小亮第幾天加工零件數量為650個？
（2）如圖所示，設第x天每個零件的加工成本是P元，P與x 之間的函數關系可用圖中的函數圖象來刻畫，若小亮第x 天創造的利潤為w元，求出w與x之間的函數表達式．
（3）試確定第幾天的生產利潤最大？最大利潤是多少？（利潤=出廠價-進價）

Answer 1

分析 （1）把y=650代入y=50x+200，解方程即可求得；
（2）先根據圖象求得成本P與x之間的關系式，再根據利潤等于出廠價減去成本價，整理即可得到w與x之間的函數表達式；
（3）根據一次函數的增減性和二次函數的增減性分別求出（2）中所求w的最大值，比較即可．

解答 解：（1）設小亮第n天加工零件數量為650個，
由題意可知：50n+200=650，
解得n=9．
答：小亮第9天加工零件數量為650個；

（2）由圖象得，當0≤x≤12時，P=5.2；
當12＜x≤20時，設P=kx+b，
把點（12，5.2），（20，6）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{12k+b=5.2}\\{20k+b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=0.1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
所以P=0.1x+4．
①0≤x≤6時，w=（6-5.2）×80x=64x；
②6＜x≤12時，w=（6-5.2）×（50x+200）=40x+160；
③12＜x≤20時，w=（6-0.1x-4）×（50x+200）=-5x²+80x+400；

（3）①0≤x≤6時，w=64x；
當x=6時，w_最大=384（元）；
②6＜x≤12時，w=40x+160；
當x=12時，w_最大=640（元）；
③12＜x≤20時，w=-5x²+80x+400=-5（x-8）²+720；
∵a=-5＜0，x是整數，
∴當x=13時，w_最大=599（元）；
綜上，當x=12時，w有最大值，最大值為640．
答：第12天的利潤最大，最大利潤是640元．

點評 本題考查的是二次函數在實際生活中的應用，主要是利用二次函數的增減性求最值問題，利用一次函數的增減性求最值，難點在于讀懂題目信息，列出相關的函數關系式．